The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: a → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
hole_a2_0 :: a
gen_nil:add3_0 :: Nat → nil:add

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
app, reverse, shuffle

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < reverse
reverse < shuffle

(6) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: a → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
hole_a2_0 :: a
gen_nil:add3_0 :: Nat → nil:add

Generator Equations:
gen_nil:add3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add3_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_a2_0, gen_nil:add3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
app, reverse, shuffle

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < reverse
reverse < shuffle

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
app(gen_nil:add3_0(n5_0), gen_nil:add3_0(b)) → gen_nil:add3_0(+(n5_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Induction Base:
app(gen_nil:add3_0(0), gen_nil:add3_0(b)) →_R^Ω(1)
gen_nil:add3_0(b)

Induction Step:
app(gen_nil:add3_0(+(n5_0, 1)), gen_nil:add3_0(b)) →_R^Ω(1)
add(hole_a2_0, app(gen_nil:add3_0(n5_0), gen_nil:add3_0(b))) →_IH
add(hole_a2_0, gen_nil:add3_0(+(b, c6_0)))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(8) Complex Obligation (BEST)

(9) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: a → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
hole_a2_0 :: a
gen_nil:add3_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add3_0(n5_0), gen_nil:add3_0(b)) → gen_nil:add3_0(+(n5_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Generator Equations:
gen_nil:add3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add3_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_a2_0, gen_nil:add3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
reverse, shuffle

They will be analysed ascendingly in the following order:
reverse < shuffle

(10) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
reverse(gen_nil:add3_0(n518_0)) → gen_nil:add3_0(n518_0), rt ∈ Ω(1 + n518₀ + n518₀²)

Induction Base:
reverse(gen_nil:add3_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
reverse(gen_nil:add3_0(+(n518_0, 1))) →_R^Ω(1)
app(reverse(gen_nil:add3_0(n518_0)), add(hole_a2_0, nil)) →_IH
app(gen_nil:add3_0(c519_0), add(hole_a2_0, nil)) →_L^{Ω(1 + n518₀)}
gen_nil:add3_0(+(n518_0, +(0, 1)))

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(11) Complex Obligation (BEST)

(12) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: a → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
hole_a2_0 :: a
gen_nil:add3_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add3_0(n5_0), gen_nil:add3_0(b)) → gen_nil:add3_0(+(n5_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
reverse(gen_nil:add3_0(n518_0)) → gen_nil:add3_0(n518_0), rt ∈ Ω(1 + n518₀ + n518₀²)

Generator Equations:
gen_nil:add3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add3_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_a2_0, gen_nil:add3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
shuffle

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
shuffle(gen_nil:add3_0(n764_0)) → gen_nil:add3_0(n764_0), rt ∈ Ω(1 + n764₀ + n764₀² + n764₀³)

Induction Base:
shuffle(gen_nil:add3_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
shuffle(gen_nil:add3_0(+(n764_0, 1))) →_R^Ω(1)
add(hole_a2_0, shuffle(reverse(gen_nil:add3_0(n764_0)))) →_L^{Ω(1 + n764₀ + n764₀2)}
add(hole_a2_0, shuffle(gen_nil:add3_0(n764_0))) →_IH
add(hole_a2_0, gen_nil:add3_0(c765_0))

We have rt ∈ Ω(n³) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n³).

(14) Complex Obligation (BEST)

(15) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: a → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
hole_a2_0 :: a
gen_nil:add3_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add3_0(n5_0), gen_nil:add3_0(b)) → gen_nil:add3_0(+(n5_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
reverse(gen_nil:add3_0(n518_0)) → gen_nil:add3_0(n518_0), rt ∈ Ω(1 + n518₀ + n518₀²)
shuffle(gen_nil:add3_0(n764_0)) → gen_nil:add3_0(n764_0), rt ∈ Ω(1 + n764₀ + n764₀² + n764₀³)

Generator Equations:
gen_nil:add3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add3_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_a2_0, gen_nil:add3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(16) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n³) was proven with the following lemma:
shuffle(gen_nil:add3_0(n764_0)) → gen_nil:add3_0(n764_0), rt ∈ Ω(1 + n764₀ + n764₀² + n764₀³)

(17) BOUNDS(n^3, INF)

(18) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: a → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
hole_a2_0 :: a
gen_nil:add3_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add3_0(n5_0), gen_nil:add3_0(b)) → gen_nil:add3_0(+(n5_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
reverse(gen_nil:add3_0(n518_0)) → gen_nil:add3_0(n518_0), rt ∈ Ω(1 + n518₀ + n518₀²)
shuffle(gen_nil:add3_0(n764_0)) → gen_nil:add3_0(n764_0), rt ∈ Ω(1 + n764₀ + n764₀² + n764₀³)

Generator Equations:
gen_nil:add3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add3_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_a2_0, gen_nil:add3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(19) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n³) was proven with the following lemma:
shuffle(gen_nil:add3_0(n764_0)) → gen_nil:add3_0(n764_0), rt ∈ Ω(1 + n764₀ + n764₀² + n764₀³)

(20) BOUNDS(n^3, INF)

(21) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: a → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
hole_a2_0 :: a
gen_nil:add3_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add3_0(n5_0), gen_nil:add3_0(b)) → gen_nil:add3_0(+(n5_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
reverse(gen_nil:add3_0(n518_0)) → gen_nil:add3_0(n518_0), rt ∈ Ω(1 + n518₀ + n518₀²)

Generator Equations:
gen_nil:add3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add3_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_a2_0, gen_nil:add3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(22) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
reverse(gen_nil:add3_0(n518_0)) → gen_nil:add3_0(n518_0), rt ∈ Ω(1 + n518₀ + n518₀²)

(23) BOUNDS(n^2, INF)

(24) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: a → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
hole_a2_0 :: a
gen_nil:add3_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add3_0(n5_0), gen_nil:add3_0(b)) → gen_nil:add3_0(+(n5_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Generator Equations:
gen_nil:add3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add3_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_a2_0, gen_nil:add3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(25) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
app(gen_nil:add3_0(n5_0), gen_nil:add3_0(b)) → gen_nil:add3_0(+(n5_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

(26) BOUNDS(n^1, INF)